Tipos de Asintotas

La palabra asíntota proviene del griego asumptotos que significa sin encontrarse. En la figura tenemos los 3 tipos de asíntotas que puede presentar una función: en verde, una asíntota horizontal; en rojo, una asíntota vertical; en azul, una asíntota oblicua. Como puedes ver, las ramas de la función nunca tocan a las asíntotas, pero se aproximan de manera constante a ellas.

Decimos que la recta x=k es una asíntota vertical de la función f(x) cuando se cumple:




limx→kf(x)=±∞ ó limx→k−f(x)=±∞ ó limx→k+f(x)=±∞

limx→kf(x)=±∞ ó limx→k−f(x)=±∞ ó limx→k+f(x)=±∞

Donde:

• k: es el valor real del eje x al que se aproxima la función de forma indefinida, ya sea por la izquierda o por la derecha del mismo. Por ejemplo, -2,0 ó 1. Se dice que la función diverge en x=k
• f(x): Es la función que presenta la asíntota

Por tanto, para saber si una función presenta asíntotas verticales en un punto, habría que estudiar el límite en él. Basta con que solo uno de los límites laterales exista, para que consideremos x=k una asíntota vertical.

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 Asíntotas verticales

Gráficamente, las asíntotas verticales se distinguen porque, a medida que nos acercamos a un 

valor concreto de x, la función "se va" a infinito (o a menos infinito). En 1 los límites laterales, 

y por tanto el límite, de la función es infinito. En el segundo caso, los límites laterales son 

distintos, por lo que no existe, estrictamente hablando, el límite, aunque sí la asíntota. 

En 3 y 4 podemos ver que basta que sólo uno de los límites laterales sea infinito para que 

exista la asíntota. 

Asíntotas horizontales

Decimos que la recta y=k es una asíntota horizontal de la función f(x) cuando se cumple:

limx→∞f(x)=k ó limx→−∞f(x)=k

Donde:
k: Es el valor real, por ejemplo 3, 0 ó -1, al que se aproxima la función (su coordenada y) cuando la x se hace infinitamente grande, por la derecha (x→∞) o por la izquierda (x→-∞)
f(x): Es la función que presenta la asíntota

Por tanto para a saber si una función presenta asíntotas horizontales, basta calcular los límites anteriores, en infinito y menos infinito, y ver si alguno da un valor real concreto.

 Asíntotas horizontales

 Gráficamente, las asíntotas horizontales se distinguen porque cuando la x se hace  infinitamente 

 grande (por la derecha o por la izquierda), la función se aproxima a un valor concreto. Según 

 consideremos el límite en +∞ o -∞, decimos que 

 la asíntota horizontal se presenta por la derecha o por la izquierda de la función respectivamente. Por tanto, una función puede tener ninguna asíntota horizonte, una,   como en el caso 

 de la figura 1, o dos, como en el caso de la figura 2.

Asíntotas oblicuas


Decimos que la recta y=m·x+n es una asíntota oblicua de la función f(x) cuando

se cumple:

limx→∞f(x)=±∞

m=limx→∞f(x)x

n=limx→∞(f(x)−mx)

Donde:

x→∞: Puede ser también x→-∞
m: Es la pendiente de la asíntota, y por tanto debe ser un valor real distinto
de cero, ya que si fuera cero nos encontraríamos ante una recta horizontal
n: Es el otro parámetro que define la recta, su ordenada en el origen.
Esta vez si puede ser 0, para el caso de las asíntotas que pasan por el origen (0,0)
f(x): Es la función que presenta la asíntota

 Asíntotas oblicuas

 Gráficamente, las asíntotas oblicuas se distinguen porque cuando la x se hace   infinitamente 

 grande (por la derecha o por la izquierda), la función se aproxima a una recta con cierta 

 pendiente m. A la izquierda, en 1, a medida que crecen los valores de x, los   correspondientes 

 valores de y=f(x) se aproximan a la recta y=x (m=1, n=0). A la derecha, a medida que 

 creen los valores de x, 

 la función se aproxima a y=-x+1 (m=-1, n=1).+333333.3

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